萌萌的拓扑学
2023/1/30 来源：不详白癜风怎么治好得快 http://m.39.net/pf/a_7585947.html
前言
拓扑学家是一个不知道甜甜圈与咖啡杯有什么差别的人。
拓扑是什么
拓扑，一个听起来很深奥的名词，但要实际理解它并不难。下面这个视频（现象与本质：生活中的拓扑）或许可以帮助我们先简单了解一下拓扑。
03:26粗浅地讲，拓扑所研究的是几何图形的这样一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中既不使原来的点重合为同一个点，又不使新点产生。
这样的性质我们叫作连续性。具有连续性的一个变换叫作一个同胚或拓扑变换。
也许你并没有看懂。没有关系，我们换一种解释。
拓扑有一个通行的形象的外号——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮薄膜做成的（或者是画在橡皮薄膜上的），我们以任意方式拉伸和扭转它，但不能把它撕破也不能使不同的点真正重合起来，就能把图形变形成许多同胚的图形。
例如，一个橡皮薄膜圈能变换成一个圆周或一个方圈，它们同胚；但是一个橡皮薄膜圈和阿拉伯数字8这个图形不同胚，因为薄膜的存在，不同的点不会重合，圈不会变成8。
实际上，拓扑学是19世纪中叶兴起，20世纪至今蓬勃发展的一门数学分支。从拓扑学所衍生出来的知识已经成为现代数学理论的三大支柱之一，其中的拓扑变换在许多领域得到广泛应用。
中小学
拓扑的一些性质在中小学的应用十分广泛，如学龄前儿童和小学生爱玩的七巧板游戏。
中学几何里的“等面积法”和“等体积法”，高中利用不动点定理解决数列中的一类问题等等。
上述这些实例体现的正是拓扑学中的拓扑不变性。
小学生爱玩的迷宫游戏和小学常考的最短路径问题
高中的排列组合问题
这些体现的则是拓扑排序的思想。
初中常考的蚂蚁爬行问题和三视图
这体现的又是拓扑学的一个重要分支——现代维数理论。通过一维、二维和三维空间之间的相互转换，帮助学生发展空间想象能力，在变化过程中寻找不变量。
“变中求不变”，本质还是拓扑不变性。
高等数学
作为高等数学的一个重要分支，拓扑在大学里得到更为深入的研究。
比如组合拓扑里面的多面体的欧拉公式：任一凸多面体（例如立方体）的顶点数V、棱数E和面数F满足
V-E+F=2.
哥尼斯堡七桥问题（后来被归纳为“一笔画”问题）
只有一个面的莫比乌斯环
永远装不满水的克莱因瓶
四色猜想（任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色）
这些体现的都是拓扑中连续变换下的不变性。
以现代维数理论为基础的分形几何本质也是拓扑不变性。
生活中的应用
而且，拓扑的这种性质在生活中也应用广泛。
生活中有些时候会发现，从包里拿出事先整齐放好的耳机线，耳机线却总是绕成一团，甚至打了死结。
也许我们不会想到，这和拓扑学中的纽结理论密切相关。
无独有偶，中国结、系鞋带和九连环游戏等等，都有纽结理论的身影。
不少研究纽结理论的数学家还针对一些生活中的纽结问题给出了解决的小妙招。
00:50除了“双人脱困”游戏，关于纽结理论还有很多有趣的益智游戏。
比如，能否把下面的左图连续的变为右图？
答案是可以的，如下图所示：
这意味着，假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形（就像海贼王里的路飞），那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后，我们可以不放开手指，把圆环给解开来。
《AlgorithmicandComputerMethodsforThree-Manifolds》一书里画了一张非常漂亮的示意图：
更加有趣的是，如果仅仅是手腕上多了一块手表，上述方案就不能得逞了：
事实上，现代社会几乎所有的领域都离不开拓扑学。
通信公司运用拓扑学来决定如何布置基站进行网络覆盖；手机的照相功能是通过拓扑学原理实现的；生物学家通过纽结理论理解DNA的结构；计算机专家通过拓扑量子比特制造量子计算机；医生结合拓扑纹理图像局部不变的特征为病人做身体扫描；经济学家运用不动点定理对经济学做出了突出贡献；天文学家也以此来理解银河系的形成……
难怪人们常说，“不懂拓扑学就不懂现代数学”。
后记
除了“透过现象看本质”外，拓扑还给了我们一个不同的观察世界的角度。
看到这里，相信你已经明白了我们开始时所说的“拓扑学家是一个不知道甜甜圈与咖啡杯有什么差别的人”这句话的含义了。
在我们传统的眼光看来，甜甜圈和咖啡杯，一个是用来吃的，一个是用来喝水的，肯定不同；但从拓扑的角度看，他们都是类似“甜甜圈”的单环结构，并没有什么不同。
因此，拓扑还启示我们：从不同的角度看问题，得到的结果也是不同的。
就像一个保温杯，普通人看，就是一个保温杯；几何学家一看，就变成了圆柱体；拓扑学家再一看，就变成了“球”……
