学会倒推法之利器,破解数学益智游戏

倒推法解题是从最后的结果出发，运用运行操作的互逆关系，从后往前一步一步地推算，直到找到最初的数据，这种方法又常被称为“还原法”。

还原问题的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件，一步一步倒着推理，逐步靠拢所求，直到问题的解决。

倒推法是一种常用的逻辑推理方法，以结果或者结论作为起点进行推导，是逆向思维的体现。下面举例说明倒推法在数学智力游戏中活用。

01

曾经有一李姓名人的儿子犯法，为了包庇儿子，使其逃避法律的惩罚，便伪造证据，在法庭上说其儿子才17岁，是未成年人。

控方律师在询问了李姓名人的儿子，得知其已读完了大学且从无跳级后，就给这名人算了一下：他儿子今年十七岁，大学已毕业；四年前高中毕业进大学，十三岁；七年前初中毕业进高中，十岁；十年前小学毕业进初中，七岁。十六年前开始进小学读书，一岁。

控方律师问李姓名人："你儿子一岁的时候不进幼儿园，却进小学读书，有小学收一岁的儿童吗？他背得动书包吗？"李姓名人面红耳赤，张口结舌，无言以对。

控方律师采用的方法就是“反推法"（又叫"反演法"），即从最后结论出发，进行逆推运算的方法，是在古印度就有记载的一种数学方法，古印度数学家大阿耶波多（又名圣使，Aryabhata，约公元-年）曾常用"反推法"解题。

02

对于下棋、赛马、乒乓球等比赛，以及多种游戏活动的策略问题。在这些游戏活动中，参与的双方都想获胜，必须考虑对方可能的行动，从而选择一个最好的对策，这称为游戏获胜的策略。

这类问题很有竞争性和趣味性，而且解题方法灵活，技巧性很强。因此回答这类问题的时候，我们需要掌握一些相关的知识，如质数、互质数、轴对称、中心对称等。另外，有些游戏的胜负不仅取决于双方的先后顺序，还取决于最终想要达到的结果。所以解决这类问题经常会用到倒推法。

（1）取余制胜（取棋子、报数等）

①每次取1-n个棋子，取到最后一个赢。

策略：总数÷（1+n）。

有余则先拿，拿掉余数后，总与对手凑成1+n即可。

无余则后拿，总与对手凑成1+n即可。②每次取1~n个棋子，取到最后一个输。

策略：最后只留给对手一个棋子，对方不取也得取。所以想赢的关键在于能不能取到倒数第二个棋子。

这样问题就转化为：每次取1~n个棋子，取到倒数第二个棋子赢。策略：（总数-1）÷（1+n），之后同①中做法即可。

例1.曾有人摆一地摊，和人玩“抢一百"游戏赌钱：根竹签，两个人轮流取1

-3根（最少取1根，最多取3根），谁先取到最后1根谁赢。输者输2元钱，玩家先取，庄家后取。

他可靠着这个摊子赚了不少钱。他是否有着什么好方法稳赢？

我们倒过来想，假设甲乙两人玩游戏，甲要想取到最后1根，必须最后一次轮到甲取时还剩3根以内（含3根），那么必须让乙最后取的时候还剩4根；甲倒数第2次取时必须还剩7根以内（含7根），乙倒数第2次取时必须还剩8根；甲倒数第3次取时必须还剩11根以内（含11根），乙倒数第3次取时必须还剩12。。。。。

即甲要想保证取到最后1根，必须始终保持让乙面临如下数字：

4，8，12，16，。。。92，96，可见，庄家后取必胜，他只要保持和玩家之前所取数字加起来等于4就可以了。因为这样玩家必将面临最后4根，此时无论玩家取几根，庄家必能取得最后1根。

例2.根据传说，在迷津渡口蹲着个恶魔，凡是不小心走到这里的人都需要和恶魔进行一场赌博。有个聪明人来到迷津渡口，恶魔对他说："我坐在一堆石头上，这里一共有03颗石头。我们两个轮流从中取走1颗、2颗或者4颗石头，谁取到最后一颗石头就输了。如果你输了就把灵魂留下来；如果我输了，就让你过去。”如果你是这个聪明人，那应该怎么做才能稳赢？

解：他先拿1个，以后根据恶魔的三种情况采取以下策略。

恶魔拿1个，他拿2个；恶魔拿2个，他拿1个；恶魔拿4个，他拿2个。

也就是说，每次保持和恶魔拿的总数一定是3或6，由于03-x3+1，每轮他与恶魔拿的总数一定是3的倍数，所以最后一定会给对方留下1个或4个，恶魔就输了。

（2）称法

①同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。

②不同等情况下，创造对等局面方可制胜。

例3．有个人不小心走到了魔鬼的属地。魔鬼要把他的灵魂留下，让他永世不得超生，这个人争辩道："我是不小心走到这里的。”

魔鬼便说：“那我们做个游戏吧，你要赢了我，我就放你走。这里有一个圆盘，我可以随时变大或者变小，还有无数的圆形棋子，我也可以随时把它们一起变大或者变小。我们轮流拿棋子放到圆盘上，每人放一次，棋子不能重叠，如果轮到一个人放棋子时圆盘上剩余的空间已经不允许再放一个棋子时，他就输了。”

这个人问：“你要变棋子的大小时，是不是圆盘上的和没在圆盘上的一起变大或变小？”

魔鬼说：“是的。并且棋子一定不会大过圆盘。”这个人选择第一个先下，魔鬼同意了。后来不管魔鬼怎么变化，这个人还是会赢。

即使魔鬼要赖再来一盘，只要这个人先下，他都会赢。你知道为什么吗？